Operaciones con Vectores en Matlab

En esta lección, explicaré las principales operaciones vectoriales en MATLAB utilizando ejemplos prácticos sencillos.

Primero, define un vector.

>> v=[1; 3; 4;]

Luego, define otro vector en el mismo espacio.

>> w=[2; 1; -1]

Los dos vectores tienen tres componentes dispuestos verticalmente, por lo que son vectores columna en el espacio tridimensional (x, y, z).

Nota. En estos ejemplos, te he pedido que definas vectores columna, pero también puedes definir vectores fila. Los cálculos vectoriales son iguales independientemente de si los vectores son filas o columnas.

Aquí tienes algunas operaciones matemáticas que puedes realizar con los dos vectores en MATLAB.

Suma de Vectores

El operador para la suma entre dos vectores es el signo más (+).

Para sumar los dos vectores en MATLAB, escribe v + w

>> v+w
ans =
3
4
3

$$ \vec{v} + \vec{w} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+2 \\ 3+1 \\ 4-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} $$

Resta de Vectores

El operador para la resta entre dos vectores es el signo menos (-).

Para obtener la diferencia entre dos vectores, escribe v - w

>> v-w
ans =
-1
2
5

$$ \vec{v} - \vec{w} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-2 \\ 3-1 \\ 4-(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} $$

Producto Punto de Vectores

El operador para la multiplicación entre dos vectores es el signo asterisco (*).

En este caso, has definido dos vectores columna. Por lo tanto, para calcular el producto punto de los dos vectores, necesitas transponer uno de los vectores a vector fila.

Para transponer un vector, añade una apóstrofe al lado derecho del nombre del arreglo.

Por ejemplo, multiplica el primer vector v por la transpuesta del segundo vector w'

>> v*w'
ans =
2 1 -1
6 3 -3
8 4 -4

$$ \vec{v} \cdot \vec{w}^T = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \cdot 2 & 1 \cdot 1 & 1 \cdot (-1) \\3 \cdot 2 & 3 \cdot 1 & 3 \cdot (-1) \\ 4 \cdot 2 & 4 \cdot 1 & 4 \cdot (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & 1 & -1 \\ 6 & 3 & -3 \\ 8 & 4 & -4 \end{pmatrix} $$

También puedes transponer el primer vector v' y multiplicarlo por el segundo vector w.

Sin embargo, recuerda que la multiplicación vectorial no obedece la propiedad conmutativa. Por lo tanto, el producto v'*w es diferente del producto v*w'.

>> v'*w
ans = 1

$$ \vec{v}^T \cdot \vec{w} = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 2 + 3 \cdot 1 + 4 \cdot (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + 3 - 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \end{pmatrix} = 1 $$

Multiplicación Elemento a Elemento

La multiplicación elemento a elemento es otro tipo de multiplicación vectorial.

En este caso, la operación calcula el producto de los elementos de los dos vectores que están en la misma posición.

Para realizar la multiplicación elemento a elemento en Matlab, utiliza el símbolo .* (punto y asterisco).

>> v.*w
ans =
2
3
-4

En la multiplicación elemento a elemento, ambos vectores v y w deben ser o vectores fila o vectores columna.

Además, los vectores v y w deben tener el mismo número de componentes.

$$ \vec{v} \cdot \vec{w} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \ .* \ \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 2 \\ 3 \cdot 1 \\ 4 \cdot -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix} $$

Multiplicación de un escalar por un vector

Al multiplicar un vector por un escalar, se emplea el mismo operador que en la multiplicación regular, es decir, el asterisco *

El término escalar se refiere a cualquier número arbitrario.

Por ejemplo, para multiplicar el escalar 2 por el vector v en Matlab, se escribe 2*v.

>> 2*v
ans =
2
6
8

$$ 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 1 \\ 2 \cdot 3 \\ 2 \cdot 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ 8 \end{pmatrix} $$

La multiplicación de un escalar por un vector cumple con la propiedad conmutativa.

Así, también se puede escribir v*2. El resultado es el mismo.

>> v*2
ans =
2
6
8

$$ \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \cdot 2 = \begin{pmatrix} 1 \cdot 2 \\ 3 \cdot 2 \\ 4 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ 8 \end{pmatrix} $$

División de un vector por un escalar

El operador de división entre un vector y un escalar es el símbolo / (barra).

Por ejemplo, para dividir el vector v por el escalar 2 en Matlab, se teclea v/2

>> v/2
ans =
0.5
1.5
2.0

$$ \frac{ \vec{v} }{2} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{2} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ \frac{3}{2} \\ \frac{4}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.5 \\ 1.5 \\ 2 \end{pmatrix} $$

División elemento a elemento de vectores

La división elemento a elemento de vectores implica dividir los elementos de dos vectores que ocupan la misma posición.

Para realizar este tipo de división, se utiliza el símbolo ./ (punto y barra)

>> v./w
ans =
0.5
3
-4

En la división elemento a elemento, ambos vectores deben ser o vectores fila o vectores columna.

Además, los dos vectores deben tener el mismo número de elementos.

$$ \vec{v} \cdot \vec{w} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \ ./ \ \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ \frac{3}{1} \\ \frac{4}{-1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.5 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix} $$

Exponenciación elemento a elemento de vectores

En Matlab, también se puede realizar la exponenciación elemento a elemento.

Esta operación eleva los elementos de un vector al mismo exponente (número escalar).

Para llevar a cabo esta operación, se usa el operador .^

>> v.^2
ans =
1
9
16

$$ \vec{v} \ \text{.^} \ 2 = \begin{pmatrix} 1^2 \\ 3^2 \\ 4^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 9 \\ 16 \end{pmatrix} $$

Si el exponente también es un vector, esta operación eleva cada elemento del vector base al elemento del vector exponente que está en la misma posición.

>> v.^w
ans =
1
3
0.25

$$ \vec{v} \ \text{.^} \ \vec{w} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \ \text{.^} \ \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1^2 \\ 3^1 \\ 4^{-1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0.25 \end{pmatrix} $$

En este caso, ambos vectores deben ser o vectores fila o vectores columna, y deben tener el mismo número de elementos.

Norma de un vector (Magnitud o longitud)

Para calcular la norma euclidiana de un vector, que es la magnitud (longitud) del vector, se utiliza la función norm().

>> norm(v)
ans = 5.0990

$$ | \vec{v} | = \sqrt{1^2+3^2+4^2} = \sqrt{1+9+16} = \sqrt{26} = 5,099 $$