Operaciones con matrices en Matlab

En esta lección, voy a mostrarles cómo realizar operaciones con matrices utilizando Matlab.

Primero, crearemos una matriz cuadrada M1 con dos filas y dos columnas.

>> M1=[1 4;2 3]
M 1 =
1 4
2 3

Luego, creamos otra matriz cuadrada M2 con dos filas y dos columnas.

>> M2=[3 1;7 5]
M2 =
3 1
7 5

Ahora, con estas dos matrices M1 y M2, veamos algunos ejemplos prácticos de cálculos matriciales.

Suma de matrices

Para sumar matrices, usamos el operador de suma (+).

Escribe M1+M2

>> M1+M2
ans =
4 5
9 8

$$ M1 + M2 = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 7 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+3 & 4+1 \\ 2+7 & 3+5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 9 & 8 \end{pmatrix} $$

Resta de matrices

Para realizar la resta de matrices, utilizamos el operador de resta (-).

Escribe M1-M2

>> M1-M2
ans =
-2 3
-5 -2

$$ M1 - M2 = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 7 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-3 & 4-1 \\ 2-7 & 3-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 3 \\ -5 & -2 \end{pmatrix} $$

Multiplicación de matrices

Para multiplicar matrices, se usa el operador de multiplicación (*).

Escribe M1*M2

>> M1*M2
ans =
31 21
27 17

$$ M1 \cdot M2 = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 7 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 3 + 4 \cdot 7 & 1 \cdot 1 + 4 \cdot 5 \\ 2 \cdot 3 + 3 \cdot 7 & 2 \cdot 1 + 3 \cdot 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 31 & 21 \\ 27 & 17 \end{pmatrix} $$

Ten en cuenta que a este proceso se le conoce como multiplicación fila por columna.

Solo puedes realizar la multiplicación de matrices cuando el número de columnas en la primera matriz (M1) es igual al número de filas en la segunda matriz (M2).

Multiplicación elemento a elemento

La multiplicación elemento a elemento calcula el producto de los elementos que se encuentran en la misma posición.

Es un tipo de multiplicación matricial diferente a la multiplicación fila por columna.

Para realizarla, usa el operador de multiplicación punto a punto (.*).

>> M1 .* M2
ans =
3 4
14 15

En la multiplicación elemento a elemento, ambas matrices deben tener el mismo número de filas y columnas.

$$ M1 \ .* \ M2 = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \ .* \ \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 7 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 3 & 4 \cdot 1 \\ 2 \cdot 7 & 3 \cdot 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 14 & 15 \end{pmatrix} $$

Multiplicar una matriz por un escalar

Para calcular el producto de una matriz por un escalar, usamos el operador de multiplicación (*).

Por ejemplo, para multiplicar la matriz M1 por 2, escribe 2*M1

>> 2*M1
ans =
2 8
4 6

Los elementos de la matriz se multiplican por el número escalar 2.

$$ 2 \cdot M1 = 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 1 & 2 \cdot 4 \\2 \cdot 2 & 2 \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 8 \\4 & 6 \end{pmatrix} $$

División de matrices

La división de matrices se logra multiplicando la primera matriz por la matriz inversa de la segunda, M1·M2^-1.

Para calcular la división de dos matrices en Matlab, escribe M1*inv(M2)

>> M1*inv(M2)
ans =
-2.87500 1.37500
-1.37500 0.87500

Alternativamente, también puedes escribir M1/M2

En este caso, Matlab realiza automáticamente la inversión de la segunda matriz.

>> M1/M2
ans =
-2.87500 1.37500
-1.37500 0.87500

El resultado final siempre será el mismo.

División elemento a elemento de matrices

La división elemento a elemento calcula el cociente entre elementos que están en la misma posición.

Es otro tipo de división de matrices.

Para realizar la división elemento a elemento, utiliza el operador ./

>> M1 ./ M2
ans =
0.33333 4.0000
0.28571 0.6000

En el caso de la división elemento a elemento, ambas matrices deben tener el mismo número de filas y columnas.

$$ M1 \ ./ \ M2 = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \ ./ \ \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 7 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{4}{1} \\ \frac{2}{7} & \frac{3}{5} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.33333 & 0.28571 \\ 4 & 0.6 \end{pmatrix} $$

Dividir una matriz por un escalar

Dividir una matriz por un escalar se realiza utilizando el operador de división (/).

Por ejemplo, para dividir la matriz M1 por dos, escribe M1/2

>> M1/2
ans =
0.50000 2.00000
1.00000 1.50000

Todos los elementos de la matriz M1 se dividen por el número escalar 2.

$$ \frac{M1}{2} = \frac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \cdot 1 & \frac{1}{2} \cdot 4 \\ \frac{1}{2} \cdot 2 & \frac{1}{2} \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.5 & 2 \\ 1 & 1.5 \end{pmatrix} $$

Exponenciación elemento a elemento de matrices

Para elevar cada elemento de una matriz a la misma potencia,

Por ejemplo, para elevar los elementos de la matriz M1 al cuadrado, escribe M1.^2

>> M1.^2
ans =
1 16
4 9

$$ M1 \ \text{.^} \ 2 = \begin{pmatrix} 1^2 & 4^2 \\ 2^2 & 3^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 16 \\ 4 & 9 \end{pmatrix} $$

Determinante de una matriz

Matlab tiene una función específica para calcular el determinante de una matriz cuadrada. Es la función det().

Por ejemplo, para calcular el determinante de la matriz M1, escribe det(M1)

>> det(M1)
ans = -5

$$ \text{det} (M1) = det \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} = 1 \cdot 3 - 4 \cdot 2 = -5 $$

Rango de una matriz

Para encontrar el rango de una matriz, utiliza la función rank().

Por ejemplo, para calcular el rango de la matriz M1, escribe rank(M1)

>> rank(M1)
ans = 2

El rango es igual a 2 porque el determinante de la matriz 2x2 no es cero. $$ \text{det} (M1) = det \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} = 1 \cdot 3 - 4 \cdot 2 = -5 $$

Trazo de una matriz

Para calcular el trazo de una matriz, usa la función trace().

Por ejemplo, para calcular el trazo de la matriz M1, escribe trace(M1)

>> trace(M1)
ans = 4

El trazo de una matriz es igual a la suma de los elementos en la diagonal principal. $$ \text{trace} (M1) = \text{trace} \begin{pmatrix} \color{red}1 & 4 \\ 2 & \color{red}3 \end{pmatrix} = 1 + 3 = 4 $$

Transposición de una matriz

Para transponer las filas y columnas de una matriz, usa la función transpose().

Por ejemplo, para transponer la matriz M1, escribe transpose(M1)

>> transpose(M1)
ans =
1 2
4 3

Alternativamente, puedes usar el operador de transposición de matrices agregando un apóstrofo después del nombre de la matriz.

>> M1'
ans =
1 2
4 3

En una transposición de matriz, las filas de la matriz se convierten en columnas y viceversa. $$ \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} $$

Inverso de una matriz

Para calcular el inverso de una matriz, usa la función inv().

Por ejemplo, para calcular el inverso de la matriz M1, escribe inv(M1)

>> inv(M1)
ans =
-0.60000 0.80000
0.40000 -0.20000

El inverso de la matriz M1 es una matriz que, al multiplicarse por M1, resulta en una matriz identidad. Una matriz identidad es una matriz con elementos iguales a 1 en la diagonal principal y 0 en otros lugares. $$ M1 \cdot \text{inv} (M1) = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -0.6 & 0.8 \\ 0.4 & -0.2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$

El polinomio característico

Para calcular el polinomio característico de una matriz cuadrada, puedes utilizar la función poly().

>> poly(M1)
respuesta =
1 -4 -5