Matriz inversa en Matlab

En esta lección, explicaré cómo calcular la matriz inversa de una matriz cuadrada o rectangular utilizando Matlab.

¿Qué es la matriz inversa? Se dice que una matriz M es invertible si existe otra matriz denominada matriz inversa M^-1 de modo que el producto de ambas matrices resulte en una matriz identidad, la cual es una matriz con unos en la diagonal principal y ceros en los demás lugares. Por ejemplo $$ M \cdot M^{-1} = I $$

Te proporcionaré un ejemplo práctico.

Define una matriz cuadrada con dos filas y dos columnas.

>> M=[1 2;3 4]
M =
1 2
3 4

Calcula la matriz inversa M^-1 de la matriz M usando la función inv()

>> inv(M)
ans =
-2.00000 1.00000
1.50000 -0.50000

Ahora multiplica la matriz M con su inversa inv(M).

El resultado final es una matriz identidad (matriz unidad).

>> M*inv(M)
ans =
1.00000 0.00000
0.00000 1.00000

Puedes utilizar la función inv() para calcular la matriz inversa solo si la matriz M es cuadrada.

Nota. No todas las matrices cuadradas son invertibles. Por ejemplo, si una matriz cuadrada tiene un determinante igual a cero, entonces no es invertible y no tiene una matriz inversa. Cuando una matriz no es invertible, la función inv() devuelve un mensaje de error "Advertencia: la matriz es singular a la precisión de trabajo". Después de calcular la matriz inversa, verifica que el producto M*inv(M) sea efectivamente una matriz identidad.

¿Cómo calculas la matriz inversa de matrices rectangulares?

En Matlab, también puedes calcular la matriz inversa de una matriz rectangular.

En este caso, necesitas usar la función de pseudo inversa pinv()

Por ejemplo, define una matriz rectangular M2

>> M2=[1 2 3 ; 4 5 6]
M2 =
1 2 3
4 5 6

Esta es una matriz de 2x3 con dos filas y tres columnas.

Ahora calcula la matriz inversa de la matriz M2 utilizando la función pinv()

>> pinv(M2)
ans =
-0.94444 0.44444
-0.11111 0.11111
0.72222 -0.22222

Matlab devuelve la matriz inversa de M2.

Para asegurarte de que es la matriz inversa, multiplica la matriz rectangular M2 por su matriz inversa pinv(M2).

>> M2*pinv(M2)
ans =
1.00000 -0.00000
0.00000 1.00000

El resultado del producto M*pinv(M2) es una matriz identidad.

Por lo tanto, el resultado es correcto.

Nota. En Matlab, puedes usar la función pinv() para calcular la matriz inversa tanto de matrices cuadradas como rectangulares. Así, puedes usar pinv() en lugar de inv() si la matriz es cuadrada. El resultado siempre es el mismo.

Por otro lado, solo puedes usar la función inv() en matrices cuadradas.