El Polinomio Característico de una Matriz en Matlab
En esta lección, vamos a profundizar en cómo calcular el polinomio característico de una matriz utilizando Matlab.
¿Qué es el polinomio característico? Se trata del determinante resultante al restar a una matriz cuadrada A, una matriz identidad Idn de igual dimensión (n), y multiplicar esta diferencia por una variable lambda (λ). $$ p_A ( \lambda ) = \det(A - \lambda \cdot Id_n ) $$ Este concepto es fundamental para determinar los valores propios de una matriz.
A continuación, presentaremos un ejemplo práctico.
Primero, creamos una matriz cuadrada de 2x2 y la asignamos a la variable M.
>> M=[2 1;0 1]
M =
2 1
0 1
Esta matriz consta de dos filas y dos columnas.
$$ M = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$
Para obtener el polinomio característico de la matriz M, utilizamos la función poly(M).
>> poly(M)
ans =
1 -3 2
Como resultado, la función nos devuelve una serie de números: 1, -3, 2.
Estos números representan los coeficientes del polinomio característico en función de la variable lambda (λ), ordenados de mayor a menor grado.
$$ 1 \cdot \lambda^2 - 3 \cdot \lambda^1 + 2 \cdot \lambda^0 $$
Nota: El último número de la serie corresponde al coeficiente de lambda elevado a cero (λ0), el penúltimo al coeficiente de lambda elevado a uno (λ1), y así sucesivamente.
$$ \lambda^2 - 3 \lambda^1 + 2 \cdot 1 $$
$$ \lambda^2 - 3 \lambda + 2 $$
De esta manera, hemos obtenido el polinomio característico de la matriz M.
$$ p_M ( \lambda ) = \lambda^2 - 3 \lambda + 2 $$
Verificación: Para asegurarnos de la corrección del resultado, es recomendable realizar el cálculo manualmente. $$ p_M ( \lambda ) = \det(M - \lambda \cdot Id_n ) $$ $$ p_M ( \lambda ) = \det [ \ \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} - \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \ ] $$ $$ p_M ( \lambda ) = \det [ \ \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix} \ ] $$ $$ p_M ( \lambda ) = \det \ \begin{pmatrix} 2-\lambda & 1 \\ 0 & 1-\lambda \end{pmatrix} $$ $$ p_M ( \lambda ) = (2-\lambda) \cdot (1-\lambda) - 1 \cdot 0 $$ $$ p_M ( \lambda ) = 2 - 2 \lambda - \lambda + \lambda^2 $$ $$ p_M ( \lambda ) = \lambda^2 - 3 \lambda + 2 $$ Este resultado coincide con el obtenido mediante la función poly(M), confirmando su exactitud.
