Cálculo de Valores Propios en Matlab
En esta lección, voy a enseñarles cómo calcular los valores propios en Matlab de manera eficiente y precisa.
¿Qué son los valores propios? Son las soluciones de la ecuación característica de una matriz cuadrada, elementos clave en el estudio de matrices.
Veamos un ejemplo práctico para entender mejor.
Primero, generemos una matriz cuadrada de 2x2.
>> M = [ 1 2 ; 0 3 ]
M =
1 2
0 3
Para calcular los valores propios de la matriz, utilizamos la función eig(M).
>> eig(M)
ans =
1
3
Así, los valores propios de nuestra matriz cuadrada resultan ser 1 y 3.
Comprobación. Considere la matriz cuadrada M $$ M = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} $$ El polinomio característico PM(λ) de M se obtiene calculando el determinante de M-λ·Id: $$ P_M(λ) = \det(M-\lambda \cdot Id) $$ Aquí, M representa la matriz cuadrada en cuestión, Id es una matriz identidad del mismo orden y λ es una variable indeterminada. $$ P_M(λ) = \det [ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} -\lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} ] $$ $$ P_M(λ) = \det [ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix} ] $$ $$ P_M(λ) = \det \begin{pmatrix} 1- \lambda & 2 \\ 0 & 3-\lambda \end{pmatrix} $$ $$ P_M(λ) = (1-\lambda) \cdot (3-\lambda)$$ $$ P_M(λ) = 3 - \lambda - 3\lambda + \lambda^2 $$ $$ P_M(λ) = \lambda^2 - 4\lambda + 3 $$ La ecuación característica de la matriz se establece igualando a cero el polinomio característico P(λ): $$ P_M(λ) = 0 $$ $$ \lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0 $$ Los valores propios son las raíces de esta ecuación característica, que en este caso es una ecuación cuadrática. $$ \lambda = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} $$ $$ \lambda = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2-4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1} $$ $$ \lambda = \frac{4 \pm \sqrt{16-12}}{2} $$ $$ \lambda = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} $$ $$ \lambda = \frac{4 \pm 2}{2} = \begin{cases} \lambda_1 = \frac{4-2}{2} = 1 \\ \\ \lambda_2 = \frac{4+2}{2} = 3 \end{cases} $$ Los valores propios de M son, por lo tanto, 1 y 3. Este resultado confirma la exactitud de nuestro cálculo.
