Cálculo del rango de una matriz en Matlab

En esta clase, te mostraré el procedimiento para determinar el rango de una matriz utilizando Matlab.

Definición del rango de una matriz: El rango de una matriz se define como el número máximo de filas o columnas que son linealmente independientes entre sí. Este concepto es clave, ya que indica la dimensión del espacio vectorial que se forma a partir de sus vectores columna. Por ejemplo, en una matriz donde sólo existe una columna linealmente independiente, el rango será 1: $$ rango \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = 1 $$ Esto ocurre porque los dos vectores columna son dependientes linealmente, siendo uno de ellos un múltiplo del otro: $$ \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} $$

Abordemos un ejemplo práctico:

Genera una matriz de 3x3 con tres filas y tres columnas de la siguiente manera:

>> M = [ 1 2 3 ; 4 5 6 ; 7 8 9 ]
M =
1 2 3
4 5 6
7 8 9

Para calcular el rango de esta matriz, basta con ejecutar el comando rank(M).

>> rank(M)
ans = 2

Así, el rango de nuestra matriz es 2.

Comprobación. Para confirmar la exactitud del resultado, puedes realizar cálculos manuales. El determinante de una matriz de 3x3 como la nuestra resulta ser cero: $$ \det \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} = 0 $$ De este modo, es imposible que la matriz tenga un rango de 3. Luego, examinamos si existe alguna submatriz de 2x2 cuyo determinante no sea nulo. $$ \det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} = 1 \cdot 5 - 2 \cdot 4 = 5 - 8 = -3 $$ Al encontrar una submatriz con determinante no nulo, confirmamos que el rango de la matriz M es efectivamente 2.