Las operaciones del cálculo vectorial en Octave
En esta lección te explicaré cómo realizar las principales operaciones del cálculo vectorial en Octave con algunos ejemplos prácticos.
Define un vector columna en un espacio tridimensional.
>> v=[1; 3; 4;]
Define otro vector columna en el mismo espacio
>> w=[2; 1; -1]
Aquí hay algunas operaciones matemáticas entre los dos vectores
Suma de dos vectores
Para sumar los dos vectores escribe v+w
>> v+w
ans =
3
4
3
Explicación. $$ \vec{v} + \vec{w} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+2 \\ 3+1 \\ 4-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} $$
Diferencia entre dos vectores
Para restar los dos vectores, escribe v-w
>> v-w
ans =
-1
2
5
Explicación. $$ \vec{v} - \vec{w} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-2 \\ 3-1 \\ 4-(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} $$
Multiplicación entre dos vectores
Para multiplicar dos vectores columna debes transformar uno de los dos vectores en un vector fila mediante una transposición.
Para transponer un vector en Octave solo necesitas agregar un superíndice a la derecha del nombre de la variable de la matriz.
>> v*w'
ans =
2 1 -1
6 3 -3
8 4 -4
Explicación. $$ \vec{v} \cdot \vec{w}^T = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \cdot 2 & 1 \cdot 1 & 1 \cdot (-1) \\3 \cdot 2 & 3 \cdot 1 & 3 \cdot (-1) \\ 4 \cdot 2 & 4 \cdot 1 & 4 \cdot (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & 1 & -1 \\ 6 & 3 & -3 \\ 8 & 4 & -4 \end{pmatrix} $$
La multiplicación entre vectores no respeta la propiedad conmutativa. Por lo tanto, multiplicar v '* w devuelve un resultado diferente que v * w'
>> v'*w
ans = 1
Explicación. $$ \vec{v}^T \cdot \vec{w} = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 2 + 3 \cdot 1 + 4 \cdot (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + 3 - 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \end{pmatrix} = 1 $$
Multiplicación del vector elemento por elemento
Este es otro tipo de multiplicación de vectores. La multiplicación elemento por elemento calcula el producto de los elementos de los vectores en la misma posición.
Para realizar este tipo de multiplicación debes usar el símbolo del operador .*
>> v*w
ans =
2
3
-4
En la multiplicación elemento por elemento, los dos vectores deben ser ambos vectores fila (o ambos vectores columna) y tener el mismo tamaño.
Explicación. $$ \vec{v} \cdot \vec{w} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \ .* \ \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 2 \\ 3 \cdot 1 \\ 4 \cdot -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix} $$
Multiplicación del vector por un escalar
Para multiplicar un vector por un número escalar, por ejemplo k = 2, simplemente escribe 2*v
>> 2*v
ans =
2
6
8
Explicación. $$ 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 1 \\ 2 \cdot 3 \\ 2 \cdot 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ 8 \end{pmatrix} $$
División del vector por un escalar
De manera similar, puedes dividir el vector por un escalar
>> v/2
ans =
0.5
1.5
2.0
Explicación. $$ \frac{ \vec{v} }{2} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{2} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ \frac{3}{2} \\ \frac{4}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.5 \\ 1.5 \\ 2 \end{pmatrix} $$
En estos ejemplos he utilizado vectores columna, pero las indicaciones son válidas incluso si utilizas vectores fila.
División del vector elemento por elemento
Es otro tipo de división entre dos vectores. La división elemento por elemento calcula el cociente de los elementos de los vectores en la misma posición.
Para realizar este tipo de división debes usar el símbolo del operador ./
>> v./v
ans =
0.5
3
-4
En la división elemento por elemento, los dos vectores deben ser ambos vectores fila (o ambos vectores columna) y tener el mismo tamaño.
Explicación. $$ \vec{v} \cdot \vec{w} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \ ./ \ \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ \frac{3}{1} \\ \frac{4}{-1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.5 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix} $$
Exponenciación del vector elemento por elemento
La exponenciación elemento por elemento eleva los elementos del vector al mismo exponente.
Para realizar este tipo de operación tienes que utilizar el símbolo del operador .^
>> v.^2
ans =
1
9
16
En la exponenciación elemento por elemento, ambos vectores deben ser vectores fila (o ambos vectores columna) y tener el mismo tamaño.
Explicación. $$ \vec{v} \ \text{.^} \ 2 = \begin{pmatrix} 1^2 \\ 3^2 \\ 4^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 9 \\ 16 \end{pmatrix} $$
