Operaciones con matrices en Octave

En esta lección, explicaré cómo realizar las principales operaciones con matrices en Octave mediante algunos ejemplos prácticos.

Antes de empezar, crea dos matrices.

Escribe una matriz M1 con dos filas y dos columnas. Es una matriz cuadrada.

>> M1=[1 4;2 3]
M 1 =
1 4
2 3

Ahora escribe otra matriz cuadrada M2 con dos filas y dos columnas.

>> M2=[3 1;7 5]
M2 =
3 1
7 5

Aquí algunas operaciones del cálculo matricial.

Suma de matrices

Para sumar dos matrices escribe M1 + M2

>> M1+M2
ans =
4 5
9 8

$$ M1 + M2 = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 7 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+3 & 4+1 \\ 2+7 & 3+5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 9 & 8 \end{pmatrix} $$

Resta de matrices

Para calcular la diferencia entre dos matrices, escribe M1-M2

>> M1-M2
ans =
-2 3
-5 -2

$$ M1 - M2 = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 7 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-3 & 4-1 \\ 2-7 & 3-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 3 \\ -5 & -2 \end{pmatrix} $$

Multiplicación de matrices

Para calcular el producto de dos matrices, escribe M1 * M2

>> M1*M2
ans =
31 21
27 17

$$ M1 \cdot M2 = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 7 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 3 + 4 \cdot 7 & 1 \cdot 1 + 4 \cdot 5 \\ 2 \cdot 3 + 3 \cdot 7 & 2 \cdot 1 + 3 \cdot 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 31 & 21 \\ 27 & 17 \end{pmatrix} $$

Recuerda que puedes calcular el producto de dos matrices solo si el número de columnas de la primera matriz es igual al número de filas de la segunda matriz

Multiplicación de matrices elemento por elemento

Es otro tipo de multiplicación de matrices. Esta operación calcula el producto de los elementos de las matrices que ocupan la misma posición.

Para calcular este tipo de multiplicación debes usar el símbolo .*

>> M1 .* M2
ans =
3 4
14 15

En la multiplicación elemento por elemento, las dos matrices deben tener el mismo número de filas y columnas.

$$ M1 \ .* \ M2 = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \ .* \ \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 7 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 3 & 4 \cdot 1 \\ 2 \cdot 7 & 3 \cdot 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 14 & 15 \end{pmatrix} $$

Multiplicación de matrices por un escalar

Para multiplicar una matriz por un número escalar, por ejemplo k = 2, escribe 2 * M1

>> 2*M1
ans =
2 8
4 6

Todos los elementos de la matriz se multiplican por el número escalar.

$$ 2 \cdot M1 = 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 1 & 2 \cdot 4 \\2 \cdot 2 & 2 \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 8 \\4 & 6 \end{pmatrix} $$

División de matrices

En álgebra lineal, la división entre dos matrices se calcula multiplicando la primera matriz por la matriz inversa de la segunda M1·M2^-1.

Para calcular esta operación en Octave escribe M1*inv(M2)

>> M1*inv(M2)
ans =
-2.87500 1.37500
-1.37500 0.87500

Alternativamente, también puedes escribir M1/M2

>> M1/M2
ans =
-2.87500 1.37500
-1.37500 0.87500

El resultado es el mismo.

División de matrices elemento por elemento

Es otro tipo de división de matrices. Esta operación calcula el cociente entre los elementos de las matrices que están en la misma posición.

Para hacer este tipo de división debes usar el símbolo ./

>> M1 ./ M2
ans =
0.33333 4.0000
0.28571 0.6000

En la división elemento por elemento, las dos matrices deben tener el mismo número de filas y columnas.

$$ M1 \ ./ \ M2 = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \ ./ \ \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 7 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{4}{1} \\ \frac{2}{7} & \frac{3}{5} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.33333 & 0.28571 \\ 4 & 0.6 \end{pmatrix} $$

División de matrices por un escalar

Si quieres dividir una matriz por un número escalar, por ejemplo k = 2, escribe M1 / 2

>> M1/2
ans =
0.50000 2.00000
1.00000 1.50000

Los elementos de la matriz se dividen por el número escalar.

$$ \frac{M1}{2} = \frac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \cdot 1 & \frac{1}{2} \cdot 4 \\ \frac{1}{2} \cdot 2 & \frac{1}{2} \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.5 & 2 \\ 1 & 1.5 \end{pmatrix} $$

Exponenciación de matrices elemento por elemento

Esta operación calcula la exponenciación de todos los elementos de la matriz al mismo exponente.

Para hacer este tipo de operación debes usar el símbolo .^

>> M1.^2
ans =
1 16
4 9

$$ M1 \ \text{.^} \ 2 = \begin{pmatrix} 1^2 & 4^2 \\ 2^2 & 3^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 16 \\ 4 & 9 \end{pmatrix} $$

Determinante de la matriz

Para calcular el determinante de una matriz cuadrada utiliza la función det()

>> det(M1)
ans = -5

$$ \text{det} (M1) = det \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} = 1 \cdot 3 - 4 \cdot 2 = -5 $$

Rango

Para calcular el rango de una matriz cuadrada utiliza la función rank()

>> rank(M1)
ans = 2

Matriz transpuesta

Para transponer una matriz utiliza la función transpose()

>> transpose(M1)
ans =
1 2
4 3

Alternativamente, puedes transponer la matriz añadiendo una comilla simple después del nombre de la matriz

>> M1'
ans =
1 2
4 3

En la transposición, las filas de la matriz se convierten en columnas. $$ \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} $$

Matriz inversa

Para calcular la matriz inversa utiliza la función inv()

>> inv(M1)
ans =
-0.60000 0.80000
0.40000 -0.20000

La matriz inversa de M1 es una matriz que, multiplicada por M1, resulta en una matriz identidad, es decir, una matriz con elementos iguales a 1 en la diagonal principal y todos los demás elementos son nulos.. $$ M1 \cdot \text{inv} (M1) = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -0.6 & 0.8 \\ 0.4 & -0.2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$