El polinomio característico en Octave

En la presente lección, vamos a profundizar en la forma de calcular el polinomio característico de una matriz cuadrada a través de Octave.

Para empezar, ¿qué es exactamente el polinomio característico? Bien, puedes obtener el polinomio característico de una matriz cuadrada A mediante la siguiente fórmula: $p_A ( \lambda ) = \det(A - \lambda \cdot Id_n )$ $$ p_A ( \lambda ) = \det(A - \lambda \cdot Id_n ) $$ Esto representa el determinante de la diferencia entre una matriz cuadrada A y una matriz de identidad Idn del mismo orden (n), todo esto multiplicado por una variable lambda (λ). Quizás te preguntes, ¿para qué se usa esto? Bueno, el polinomio característico resulta ser de gran utilidad a la hora de calcular autovalores.

Pasemos a un ejemplo práctico para entender mejor.

Primero, generamos una matriz cuadrada en la variable M:

>> M=[2 1;0 1]
M =
2 1
0 1

En este caso estamos manejando una matriz de 2x2, que contiene dos filas y dos columnas.

$$ M = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$

Después, al ejecutar poly(M), obtendremos el polinomio característico de la matriz M:

>> poly(M)
ans =
1 -3 2

El resultado es una lista de números: 1, -3, 2. Estos números son los coeficientes de la variable lambda (λ) en el polinomio característico.

$$ 1 \cdot \lambda^2 - 3 \cdot \lambda^1 + 2 \cdot \lambda^0 $$

Nota. Los números presentes en la lista son los coeficientes de la variable lambda (λ) y están dispuestos en orden descendente de grado. El último número de la secuencia es el coeficiente de la variable de grado cero (λ⁰), el penúltimo es el coeficiente de grado uno (λ¹) y así sucesivamente.

$$ \lambda^2 - 3 \lambda^1 + 2 \cdot 1 $$

$$ \lambda^2 - 3 \lambda + 2 $$

Finalmente, obtenemos el polinomio característico de la matriz M:

$$ p_M ( \lambda ) = \lambda^2 - 3 \lambda + 2 $$

Para verificar si hemos procedido correctamente, llevamos a cabo el cálculo paso a paso del polinomio característico: $$ p_M ( \lambda ) = \det(M - \lambda \cdot Id_n ) $$ $$ p_M ( \lambda ) = \det [ \ \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} - \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \ ] $$ $$ p_M ( \lambda ) = \det [ \ \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix} \ ] $$ $$ p_M ( \lambda ) = \det \ \begin{pmatrix} 2-\lambda & 1 \\ 0 & 1-\lambda \end{pmatrix} $$ $$ p_M ( \lambda ) = (2-\lambda) \cdot (1-\lambda) - 1 \cdot 0 $$ $$ p_M ( \lambda ) = 2 - 2 \lambda - \lambda + \lambda^2 $$ $$ p_M ( \lambda ) = \lambda^2 - 3 \lambda + 2 $$ El resultado final es correcto. Es el mismo polinomio característico que se calculó con la función poly(M).