C贸mo resolver un sistema de ecuaciones en Octave
En el desarrollo de esta lección, mi objetivo es guiarte en la resolución de un sistema de ecuaciones lineales utilizando Octave, con especial énfasis en el cálculo matricial y vectorial.
Permíteme ilustrarte con un ejemplo práctico.
Nuestro sistema de ecuaciones está compuesto por dos ecuaciones lineales, con dos incógnitas,
$$ \begin{cases} x+5y-3 = 0 \\ \\ 2x-4y+8=0 \end{cases} $$
Primero, reescribimos el sistema en la forma general ax+by=c
$$ \begin{cases} x+5y=3 \\ \\ 2x-4y=-8 \end{cases} $$
Luego, transformamos este sistema de ecuaciones en su representación vectorial
$$ \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 2 & -4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -8 \end{pmatrix} $$
La primera matriz que observas es la matriz de los coeficientes de las variables x e y,
$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 2 & -4 \end{pmatrix} $$
Para declarar la matriz de los coeficientes en Octave, escribes A=[1,5; 2,-4]
>> A = [ 1 , 5 ; 2 , -4 ]
A =
1 5
2 --4
En cuanto al primer vector columna, es el vector de las variables en cuestión.
Los valores que necesitamos determinar son los siguientes,
They are the values of the variables that you need to find
$$ \vec{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $$
El segundo vector columna, por su parte, es el vector de los términos independientes.
$$ \vec{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ -8 \end{pmatrix} $$
Declaramos este vector columna en Octave escribiendo b=[3; -8]
>> b = [ 3 ; -8 ]
b =
3
-8
Cuando expresamos el sistema de ecuaciones en forma vectorial, lo que obtenemos es el producto de una matriz y un vector.
$$ A \cdot \vec{x} = \vec{b} $$
Para encontrar las soluciones del sistema de ecuaciones, debemos expresar el vector x en función del resto de elementos.
$$ \vec{x} = A^{-1} \cdot \vec{b} $$
Aquí, A-1 representa la matriz inversa de la matriz de coeficientes A.
Ahora bien, calculamos la expresión A-1·b en Octave de la siguiente manera:
>> inv(A)*b
ans =
-2
1
Como resultado, obtenemos los valores x e y del vector de incógnitas.
$$ \vec{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} $$
Así, hemos encontrado la solución al sistema de ecuaciones.
$$ x=-2 $$
$$ y=1 $$
Por lo tanto, el sistema de ecuaciones tiene como solución (x;y)=(-2;1).
Para verificar si la solución es correcta, sustituimos x=-2 e y=1 en el sistema de ecuaciones $$ \begin{cases} x+5y=3 \\ \\ 2x-4y=-8 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} -2 + 5 \cdot 1 =3 \\ \\ 2 \cdot (-2) -4 \cdot 1 =-8 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} 3 =3 \\ \\ -8 =-8 \end{cases} $$ Al satisfacer ambas ecuaciones del sistema, confirmamos que la solución x=-2 y y=1 es correcta.
