Valores propios de una matriz en Octave

Hoy, en nuestra lección, profundizaremos en cómo obtener los valores propios de una matriz utilizando Matlab.

Para empezar, te preguntarás, ¿qué son los valores propios? Bien, los valores propios son, en términos sencillos, las soluciones que encontramos al resolver la ecuación característica asociada a una matriz cuadrada.

Permíteme ilustrar esto con un ejemplo práctico.

Vamos a generar una matriz cuadrada 2x2 y asignarla a la variable M.

>> M = [ 1 2 ; 0 3 ] M = 1 2 0 3

Una vez hecho esto, escribe eig(M) en la línea de comandos. Esto nos permitirá calcular los valores propios de nuestra matriz cuadrada M.

>> eig(M) ans = 1 3

Así de sencillo. Los valores propios de la matriz cuadrada M resultan ser los escalares 1 y 3.

Ahora bien, siempre es bueno verificar. Vamos a comprobar que el resultado que obtuvimos es, efectivamente, correcto. Si recordamos, la matriz cuadrada que utilizamos en este ejemplo fue M. $$ M = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} $$ $$ P_M(λ) = \det [ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} -\lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} ] $$ Donde M es la matriz cuadrada, Id es una matriz identidad del mismo orden y λ es una variable desconocida. $$ P_M(λ) = \det [ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix} ] $$ $$ P_M(λ) = \det \begin{pmatrix} 1- \lambda & 2 \\ 0 & 3-\lambda \end{pmatrix} $$ $$ P_M(λ) = (1-\lambda) \cdot (3-\lambda)$$ $$ P_M(λ) = 3 - \lambda - 3 \lambda + \lambda^2 $$ $$ P_M(λ) = \lambda^2 - 4 \lambda + 3 $$ La ecuación característica de la matriz es el polinomio característico P (x) = 0 igualado a cero $$ P_M(λ) = 0 $$ $$ \lambda^2 - 4 \lambda + 3 = 0 $$ Los valores propios son las soluciones de la ecuación característica. En este caso la ecuación característica es una ecuación de 2° grado.$$ \lambda = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} $$ $$ \lambda = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2-4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1} $$ $$ \lambda = \frac{4 \pm \sqrt{16-12}}{2} $$ $$ \lambda = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} $$ $$ \lambda = \frac{4 \pm 2}{2} = \begin{cases} \lambda_1 = \frac{4-2}{2} = 1 \\ \\ \lambda_2 = \frac{4+2}{2} = 3 \end{cases} $$ Resumiendo, podemos afirmar que los valores propios de la matriz M son los escalares 1 y 3. Así que, efectivamente, nuestro resultado es correcto.