El rango de una matriz en Octave

En esta clase, voy a desglosar el procedimiento para calcular el rango de una matriz utilizando Octave.

Primero, definamos qué es el rango. El rango de una matriz es la cantidad máxima de filas o columnas linealmente independientes en dicha matriz. Básicamente, es la dimensión del espacio vectorial generado por los vectores columna. Para ilustrarlo, consideremos la siguiente matriz, que solo tiene una columna linealmente independiente $$ rank \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = 1 $$ Esto se debe a que los dos vectores columna son linealmente dependientes entre sí, es decir, cada vector se puede obtener como un múltiplo del otro $$ \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} $$

Para entenderlo mejor, propongo un ejemplo práctico.

Definamos una matriz de 3x3, con tres filas y tres columnas, y asignémosla a la variable M

>> M = [ 1 2 3 ; 4 5 6 ; 7 8 9 ]
M =
1 2 3
4 5 6
7 8 9

A continuación, utilicemos la función rank(M) para encontrar el rango de la matriz.

>> rank(M)
ans = 2

Por lo tanto, el rango de la matriz resulta ser 2.

¿Cómo lo confirmamos? El determinante de la matriz 3x3 es cero. $$ \det \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} = 0 $$ De esto se deduce que la matriz no puede tener un rango igual a 3. A partir de aquí, debemos revisar si existe una submatriz 2x2 con un determinante diferente de cero dentro de la matriz. $$ \det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} = 1 \cdot 5 - 2 \cdot 4 = 5 - 8 = -3 $$ Como se puede apreciar, al menos una submatriz 2x2 presenta un determinante diferente de cero. De esta manera, concluimos que el rango de la matriz M es, efectivamente, 2.