Función expand() en Matlab

Permítanme presentarles una herramienta esencial en Matlab: la función expand(). Esta es particularmente útil al abordar polinomios y expresiones algebraicas.

expand(x)

El propósito principal de esta función es descomponer un polinomio o una expresión algebraica. La utilización es directa: basta con invocar la función y pasar como parámetro la expresión que deseamos descomponer.

Es esencial entender que "expand()" opera mediante un cálculo simbólico. Por lo tanto, es imperativo definir previamente las variables de nuestro polinomio o expresión como símbolos.

Ilustremos esto con un ejemplo.

Consideremos el cuadrado del binomio:

$$ (x+y)^2 $$

Este binomio integra dos variables.

Antes de proceder, debemos definir x y y como símbolos, de la siguiente manera:

>> syms x y

Posteriormente, establecemos nuestro binomio y lo asignamos a una variable.

>> P = (x+y)^2

Para expandir el cuadrado del binomio, simplemente ejecutamos "expand()" con nuestro binomio como argumento.

>> expand(P)

El resultado obtenido es:

ans =
x^2 + 2*x*y + y^2

Correspondiendo a la expansión del cuadrado del binomio.

$$ (x+y)^2 = x^2 +2xy + y^2 $$

Ahora, exploraremos otro ejemplo.

Examinemos la expresión algebraica:

$$ (2x + 3y)^3 + (4x - 2y)^3 $$

Nuevamente, definimos x y y como símbolos.

>> syms x y

Posteriormente, estructuramos nuestra expresión.

>> E = (2*x+3*y)^3 + (4*x-2*y)^3

Para descomponer dicha expresión, aplicamos "expand()" tomando nuestra expresión como argumento.

>> expand(E)

El desglose es:

ans =
72*x^3 - 60*x^2*y + 102*x*y^2 + 19*y^3

Esta representa la versión expandida de la expresión inicial.

$$ 72x^3 - 60x^2y + 102xy^2 + 19y^3 $$

Verificación. Aunque es posible comprobar manualmente los cálculos algebraicos, puedo afirmar con confianza que Matlab ofrece precisión en sus resultados. El proceso algebraico detallado valida que la expansión es correcta. $$ (2x + 3y)^3 + (4x - 2y)^3 = $$ $$ = (2x)^3+3 \cdot (2x)^2 \cdot 3y + 3 \cdot 2x \cdot (3y)^2 + (3y)^3 + \\ \ \ \ +(4x)^3 + 3 \cdot (4x)^2 \cdot (-2y) + 3 \cdot (4x) \cdot (-2y)^2 + (-2y)^3 $$ $$ = 8x^3+ 36x^2y + 54xy^2 + 27y^3 +64x^3 - 96 x^2y + 48xy^2 -8y^3 $$ $$ = (8x^3+64x^3)+ (36x^2y- 96 x^2y) + (54xy^2 + 48xy^2) + (27y^3-8y^3) $$ $$ = 72x^3 - 60 x^2y + 102xy^2+ 19y^3 $$