Derivadas en Matlab
Permíteme explicarte cómo calcular derivadas usando Matlab.
Entonces, ¿qué es exactamente una derivada? Bueno, una derivada de una función mide la rapidez con la que esta cambia en cada punto de su dominio. Esta herramienta es extremadamente útil para entender cómo se comporta una función, si está aumentando o disminuyendo, e incluso para encontrar los puntos máximos y mínimos de dicha función.
Las derivadas también tienen un papel crucial en el análisis matemático, lo que las convierte en un concepto esencial de comprender.
Derivada de un polinomio
Para calcular la derivada de un polinomio, puedes usar la función polyder()
polyder(y)
El parámetro y de la función es un array con los coeficientes numéricos del polinomio.
Te mostraré un ejemplo práctico.
Toma en cuenta este polinomio:
$$ P(x) = 2x^3 + 4x + 3 $$
Define un array con los coeficientes numéricos del polinomio ordenados por grado.
>> P = [2 0 4 3]
Si este último paso no te queda claro, te sugiero revisar la lección sobre cómo definir un polinomio en Matlab.
Ahora, calcula la derivada del polinomio usando la función polyder()
>> polyder(P)
El resultado es la primera derivada del polinomio.
ans = 6 0 4
Por lo tanto, la primera derivada del polinomio es:
$$ P'(x) = \frac{d \ P(x)}{dx} = 6x^2 + 4 $$
Verificación. El polinomio está compuesto por la suma de monomios. Así que, para calcular la derivada del polinomio, solo necesitas sumar las primeras derivadas de los monomios individuales. $$ P'(x) = \frac{d \ ( 2x^3 + 4x + 3)}{dx} = \frac{ d \ 2x^3}{dx} + \frac{d \ 4x}{dx} + \frac{d \ 3}{dx} = 6x^2 + 4 + 0 $$
¿Y cómo calculas la segunda derivada?
Para calcular la segunda derivada del polinomio, puedes iterar la función polyder() varias veces sobre el resultado.
>> d1=polyder(P);
>> d2=polyder(d1)
O también, puedes crear una función compuesta.
>> polyder(polyder(P))
En ambos casos, el resultado final es la segunda derivada del polinomio.
ans = 12 0
La segunda derivada del polinomio es:
$$ P''(x) = 12x $$
Con la misma técnica, puedes calcular la tercera, cuarta o enésima derivada del polinomio.
La derivada de una función
Para calcular la derivada de una función con una o más variables, utiliza la función diff().
diff(function, variable, degree)
La función diff() tiene tres parámetros:
- El primer parámetro es la expresión de la función.
- El segundo es la variable respecto a la cual quieres derivar (por ejemplo, x, y, etc.).
- El tercero es el grado de derivación (primera derivada, segunda derivada, tercera derivada, etc.).
El segundo y tercer parámetro son opcionales. Si no especificas la variable de derivación en el segundo parámetro, la función diff() toma por defecto el símbolo de la variable x. Si no especificas el grado de derivación, la función diff() calcula la primera derivada. La función diff() se basa en cálculos simbólicos, así que primero debes definir las variables como símbolos usando la instrucción syms.
Déjame mostrarte un ejemplo práctico.
Considera la función x3+x2+x con una variable:
$$ f(x) = x^3 + x^2 + x $$
Define el símbolo de la variable x:
syms x
Para calcular la primera derivada de la función, escribe:
diff(x^3+x^2+x,x,1)
La función tiene tres parámetros:
- El primer parámetro (x^3+x^2+x) es la expresión de la función.
- El segundo parámetro (x) es la variable de derivación.
- El tercer parámetro (1) indica el grado de derivación.
En la expresión de la función, el operador de exponente es ^.
La función diff() calcula la primera derivada de la función respecto a la variable x.
ans =
3*x^2 + 2*x + 1
Por lo tanto, la primera derivada de la función es:
$$ f'(x) = 3x^2 +2x+1 $$
Ahora, calculemos la segunda derivada de la misma función.
Para ello, simplemente indica 2 en el último parámetro de la función diff():
diff(x^3+x^2+x,x,2)
El resultado es la segunda derivada de la función.
ans =
6*x + 2
Por lo tanto, la segunda derivada de la función es:
$$ f''(x) = 6x +2 $$
Ahora, calculemos la tercera derivada.
Escribe la misma función diff(), pero modifica el último parámetro a 3.
diff(x^3+x^2+x,x,3)
El resultado es la tercera derivada de la función.
ans =
6
Por lo tanto, la tercera derivada de la función es:
$$ f^{(3)}(x) = 6x +2 $$
Derivadas parciales
Matlab también te permite calcular derivadas parciales de una función.
¿Qué es una derivada parcial? Es una derivada de una función con dos o más variables con respecto a solo una de sus variables, manteniendo las demás constantes.
Por ejemplo, considera esta función con dos variables:
$$ f(x,y) = x^2 y^2 $$
Define símbolos para ambas variables independientes, "x" y "y":
syms x y
Ahora, calcula la primera derivada parcial de la función x2y2 con respecto a la variable x:
diff(x^2*y^2,x,1)
El resultado es la primera derivada parcial de la función.
ans
2*x*y^2
Por lo tanto, la primera derivada parcial de la función respecto a x es:
$$ \frac{\partial \ f(x,y)}{\partial x} = 2xy^2 $$
Ahora, calcula la primera derivada parcial de la función x2y2 con respecto a la variable y.
diff(x^2*y^2,y,1)
El resultado es la primera derivada parcial de la función.
ans
2*x^2*y
Por lo tanto, la primera derivada parcial de la función respecto a la variable y es:
$$ \frac{\partial \ f(x,y)}{ \partial y} = 2x^2y $$
Usando este método, puedes calcular las derivadas parciales de cualquier función con dos o más variables en Matlab.
