Ecuaciones Diferenciales en Matlab

Abordemos el tema de las ecuaciones diferenciales utilizando Matlab.

En primer lugar, es fundamental entender: ¿qué son las ecuaciones diferenciales? Estas representan un conjunto de ecuaciones matemáticas en las que una función desconocida, denotada como y(x), se define en función de sus derivadas respecto a una o más variables independientes. Tomemos, por ejemplo, la ecuación diferencial: $$ y''(x)+y'(x)=0 $$ Aquí, la función y(x) es lo que buscamos, mientras que sus derivadas, y'(x) y y''(x), ya las conocemos. El objetivo es, por supuesto, determinar la función y(x).

Permítame ilustrar cómo abordar este problema con Matlab.

Tomemos la siguiente ecuación diferencial:

$$ y''(x)+y'(x)=0 $$

El primer paso es definir el símbolo de la función desconocida, y(x), y para ello recurrimos a la función syms.

syms y(x)

A continuación, plasmamos la ecuación diferencial y''(x)+y'(x)=0 en la variable eqz, empleando la función diff().

A modo ilustrativo, la primera derivada y'(x) se representa como diff(y,x,1) y la segunda derivada y''(x) como diff(y,x,2).

eqz = diff(y,x,2) + diff(y,x,1) == 0

Es crucial señalar que, al establecer la expresión de la ecuación diferencial, debemos usar el operador de comparación "==" para simbolizar la igualdad "=" de la ecuación.

Con todo en su lugar, procedemos a resolver la ecuación diferencial con la función dsolve()

dsolve(eqz)

Esta función, dsolve(), nos brinda la solución general de la ecuación diferencial, que se presentará en la forma C1+C2*exp(-x), donde C1 y C2 son constantes arbitrarias, y exp() es la función exponencial.

C1+C2*exp(-x)

Así, la solución de nuestra ecuación diferencial es:

$$ y(x) = c_1 + c_2e^{-x} $$

Siguiendo este procedimiento metódico y riguroso, es posible calcular la solución general de cualquier ecuación diferencial, ya sea homogénea o no homogénea, haciendo uso de Matlab.