Aproximación racional en Matlab
En esta clase exploraremos el funcionamiento de la aproximación racional y sus aplicaciones prácticas en Matlab.
¿En qué consiste la aproximación racional? Es una técnica numérica que nos permite representar números reales como fracciones o como sumas de fracciones, es decir, en forma de expresiones racionales.
Para emplear la aproximación racional, utilizaremos el comando rat().
rat(n)
Aquí, el parámetro n corresponde a un valor numérico real.
¿Cómo opera?
La aproximación racional convierte un número real n en una suma de fracciones.
- Si el número real (n) es racional, entonces la suma de fracciones será idéntica al número real.
- Si el número real (n) es irracional, la suma de fracciones ofrecerá una aproximación de dicho número.
¿Qué distingue a los números reales racionales de los irracionales? Los números reales incluyen tanto cifras positivas como negativas, con o sin decimales, tales como 3.3, 4.138, 5, entre otros. Estos se clasifican en racionales e irracionales. Los racionales son aquellos que resultan de la división de dos enteros m/q $$ n = \frac{m}{q} $$ Por ejemplo, 2.5 es racional porque se deriva de la fracción 5/2. En cambio, los números irracionales son aquellos que no se pueden expresar como la división de dos enteros m/q. Un ejemplo clásico es el valor de pi (π), que es irracional.
Veamos un ejemplo concreto.
Aproximemos el número real utilizando la función rat(1.2)
>> rat(1.2)
Matlab nos entrega la aproximación del número expresándolo como suma de fracciones
ans = 1 + 1/5
En este caso, la suma de fracciones se corresponde exactamente con el número real dado que 1.2 es racional.
Cabe destacar que el número 1.2 se puede representar como la división de dos enteros, lo que lo califica como racional. De hecho, puede expresarse como 1.2 $$ 1.2 = \frac{12}{10}$$ o de forma alternativa, como 1+1/5 $$ 1.2 = 1 + \frac{1}{5} = 1 + 0.2 $$
Procedamos ahora a aproximar el número pi, que tiene un valor aproximado de 3.1416.
En Matlab, esto se haría de la siguiente manera:
>> rat(3.1416)
Matlab proporciona una aproximación del número como una suma de fracciones.
ans = 3 + 1/(7 + 1/(16 + 1/11))
Aquí, el resultado es una aproximación racional ya que pi es un número irracional y no puede ser el resultado exacto de la división de dos enteros.
¿Cómo se establece la aproximación racional por defecto?
Para configurar la aproximación racional como predeterminada para todos los cálculos en la sesión en curso, introduzca el comando format rat
>> format rat
De esta manera, todos los resultados se presentarán automáticamente en forma de aproximación racional, incluso sin necesidad de recurrir al uso explícito de la función "rat()".
Por ejemplo:
>> 3.3
ans = 33/10
Para revertir al formato estándar, simplemente escriba el comando format.
